ԱՌՆՉՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՌԱՆԿՅԱՆ ԿՈՂՄԵՐԻ ԵՒ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԻՋԵՎ

Եռանկյան ավելի մեծ կողմի դիմաց ընկած է ավելի մեծ անկյունը:

Ապացույց:

Դիցուք ABC եռանկյան մեջ AB կողմն ավելի մեծ է AC կողմից:

Ապացուցենք, որ ∡C>∡B:

Տեղադրենք AB կողմի վրա AC-ին հավասար հատված:

Քանի որ AD<AB, ապա D կետն ընկած է A և B կետերի միջև:

Հետևաբար, 1 անկյունը հանդիսանում է C անկյան մաս, և ուրեմն՝ ∡C>∡1

2 անկյունը BDC եռանկյան արտաքին անկյունն է, ուստի ∡2>∡B

∡1=∡2՝ որպես ADC հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյուններ:

Այսպիսով, ∡C>∡1=∡2>∡B

Այստեղից հետևում է, որ ∡C>∡B

Տեղի ունի նաև հակառակ պնդումը.

Եռանկյան ավելի մեծ անկյան դիմաց ընկած է ավելի մեծ կողմ:

Հետևանքներ.

Հետևանք 1.

Եթե եռանկյան երկու անկյուններ հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է (հավասարասրուն եռանկյան հայտանիշ):

Հետևանք 2.

Եթե եռանկյան երեք անկյուններ հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարակողմ է:

Հետևանք 3.

Ուղղանկյան եռանկյան ներքնաձիգն ավելի մեծ է էջից:

Եռանկյան անհավասարությունը

Եռանկյան յուրաքանչյուր կողմ ավելի փոքր է, քան մյուս երկու կողմերի գումարը:

Ապացույց:

Դիտարկենք ABC եռանկյունը և ապացուցենք, որ AB<AC+BC

Շարունակենք AC կողմը և տեղադրենք հատված CD=BC

BCD եռանկյունը հավասարասրուն է, հետևաբար ∡1=∡2

ABD եռանկյան մեջ, ակնհայտորեն ∡ABD>∡1, ինչը նշանակում է, որ ∡ABD>∡2

Քանի որ ավելի մեծ անկյան դիմաց ընկած է ավելի մեծ կողմ, ապա AB<AD, և AD=AC+BC:

Հետևաբար, AB<AC+BCՀետևանք 4.

Մի ուղղի վրա չգտնվող A,B և C կետերի համար տեղի ունեն հետևյալ անհավասարությունները՝

AB<AC+CB,AC<AB+BC,BC<AB+AC

Խնդիրներ

1․Տրված է CAB եռանկյունը: Նշիր CA կողմին հանդիպակաց անկյունը:

• CAB
• ACB
• ABC

2․CBA եռանկյան մեջ նշիր ABC անկյան հանդիպակաց կողմը:

• BC
• AB
• DA
• BD
• DC
• AC

3․Ընտրիր գծագիրը, որում ցույց է տրված հավասարասրուն եռանկյուն:

Պատ՝․ 2

4․

Ընտրիր ցուցադրված եռանկյան տեսակը: Հնարավոր է մի քանի ճիշտ պատասխան:

• ոչ հավասարասրուն
• հավասարակողմ
• բութանկյուն
• ուղղանկյուն
• հավասարասրուն
• սուրանկյուն

5․

Հաշվիր CBA եռանկյան պարագիծը, եթե AB=AC=CB=20սմ:
P = AB + AC + CB = 20 + 20 + 20 = 60

6․

Հաշվիր ABC եռանկյան պարագիծը, եթե CB=CA=600մմ և BA=800մմ

P = CB + CA + BA = 600 + 600 + 800 = 2000

7․Հաշվիր BCA եռանկյան պարագիծը, եթե CB=33մմ, BA=44մմ և CA=55մմ

P = CB + BA + CA = 33 + 44 + 55 = 132մմ

8․Որոշիր հավասարակողմ եռանկյան կողմը, եթե նրա պարագիծը հավասար է 111 սմ-ի:

P = 111 : 3 = 37

9․Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը հավասար է 154 դմ-ի, իսկ նրա սրունքը հավասար է 55 դմ-ի: Հաշվիր եռանկյան հիմքը:

55 + 55 = 110դմ

154 – 110 = 44դմ

10․Եռանկյան պարագիծը հավասար է 1000 մմ-ի: Եռանկյան մի կողմը 400 մմ է: Հաշվիր եռանկյան մյուս երկու կողմերը, եթե հայտնի է, որ դրանք իրար հավասար են:

1000 – 400 = 600մմ

600 : 2 = 300մմ

11․Տրված են KBP եռանկյան անկյունների մեծությունները՝

∡K=65°,

∡B=85°,

∡P=30°:

Թվարկիր եռանկյան կողմերը՝ ամենափոքրից մինչև ամենամեծը:

KB < BP < KP

Երկրաչափություն

ա) ոչ, A անկյունը չի կարող լինել բութ, որորվհետև A-ն չի գտնվում ամենամեծ կողմի դիմաց, իսկ ամենամեծը AB-ն է

բ) A-ն բութ է, որովհետև գտնվում է BC-ի դիմաց, BC-ն ամենամեծ կողմն է

ա) BC > AC > AB

բ) BC > AB = AC

ԵՌԱՆԿՅԱՆ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐԸ

Ապացույց:

Դիտարկենք KLM կամայական եռանկյունը և ապացուցենք, որ ∡K+∡L+∡M=180°

L գագաթով տանենք KM կողմին զուգահեռ a ուղիղը: 1-ով նշանակված անկյունները խաչադիր են՝ առաջացել են a և KM զուգահեռ ուղիղները KL-ով հատելիս:

2-ով նշանակված անկյունները ևս խաչադիր են և առաջացել են նույն զուգահեռ ուղիղները ML-ով հատելիս:

Ակնհայտ է, որ 1, 2 և 3 անկյունների գումարը հավասար է L գագաթով փռված անկյանը, հետևաբար՝

∡1+∡2+∡3=180° կամ ∡K+∡L+∡M=180°:

Թեորեմն ապացուցված է:

Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմի հետևանքները

Հետևանք 1. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է:

Հետևանք2. Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան յուրաքանչյուր սուր անկյուն հավասար է 45°-ի:

Հետևանք3. Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք անկյունները հավասար են 60°-ի:

Հետևանք4. Ցանկացած եռանկյան մեջ կամ բոլոր անկյունները սուր են, կամ անկյուններից երկուսը սուր են, իսկ երրորդը՝ բութ կամ ուղիղ:

Հետևանք5. Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք կից չեն արտաքին անկյանը:

Ապացույց:

∡KML+∡BML=180° և ∡K+∡L+∡KML=180° հավասարություններից ստանում ենք, որ ∡BML=∡K+∡L

Առաջադրանքներ՝

262.

Գտեք ABC եռանկյան C անկյունը, եթե

<A = 65^o, <B = 57^o
65 + 57 = 122
180 – 122 = 58^o
<C = 58^o

<A = 24^o, <B = 130^o
24 + 130 = 154
180 – 154 = 26^o
<C = 26^o

<A = α, <B = 2α
a + 2a = 3a
<C = 180 – 3a

<A = 60^o + α, <B = 60^o – α
<C = 180 – 60 – a + 60 + a = 60^o

263.

Գտեք ABC եռանկյան անկյունները, եթե <A : <B : <C = 2 : 3 : 4

267.

Գտեք հավասարասրուն եռանկյան անկյունները, եթե նրանց անկյուննեերից մեկը հավասար է՝
Եթե եռանկյունը հավասարասրուն է, ապա երկու անկյուն հավասար են
ա) 40^o, 40^o, 100^o
բ) 60^o, 60^o, 40^o
գ) 100^o, 40^o, 40^o

268.

AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը: Գտեք <ADC–ն,
եթե <C = 50^o

ԶՈՒԳԱՀԵՌ ՈՒՂԻՂՆԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ ԽՆԴԻՐՆԵՐ

1․ Նկարում <2=<6: Զուգահե՞ռ են a և b ուղիղները:

Այո, եթե համապատասխան անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են

2. Նկարում <3=<7: Զուգահե՞ռ են a և b ուղիղները:

Այո, եթե համապատասխան անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են

3. Նկարում <3=70⁰, <5=110°: Զուգահե՞ռ են a և b ուղիղները:

Այո, եթե միակողմանի անկյունների գումարը 180⁰ է, ապա ուղիղները զուգահեռ են

4. Նկարում <BAD=50°, <CDA=130°: Ապացուցեք, որ АВ-ն զուգահեռ է CD-ին:

Եթե միակողմանի անկյունների գումարը 180⁰ է, ապա ուղիղները զուգահեռ են

5․ Նկարում <BAD=32°, <ABC= 148°: Ապացուցեք, որ BC-ն զուգահեռ է CD-ին:

Եթե միակողմանի անկյունների գումարը 180⁰ է, ապա ուղիղները զուգահեռ են

6․ Նկարում a-ն զուգահեռ է b-ին, <4=110°: Գտեք <5֊ը:

<4-ը խաչադիր է <5-ին, եթե խաչադիր անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են։ Այսինքն <5-ը = 110°

Երկրաչափություն

250.

CE = ED, BE = EF և KE || AD:
Ապացուցեք, որ KE || BC

BCE = EDF
BE = EF
CE = ED
<1 <2
<EBC և EDF անկյունները խաչադիր են
KE ||AD ապա ուղիղները զուգահեռ են

251.

AN = MD
<1 = <2
ANM = NMD
AN = ND
NM-ը ընդհանուր է
❤ = <4
Քանի որ <1 = <2 որպես խաչադիր, <-ներ =, AB||MD

Երկրաչափություն․ Տնային աշխատանք

243․

a||b, c||d, <4 = 45^o. Գտեք <1, <2, ❤

<4 = <2 համապատասխան են, ապա հավասար են
<2 = 45^o
❤ և <4 կից են, ապա նրանց գումարը 180^օ է
❤ = 180^o – 45^o = 135^o
<1 = <3, խաչադիր են, ապա հավասար են
<1 = 135^o

246․

AB = BC, <A = 60^o, CD-ն BCE անկյան կիսորդն է։
Ապացուցեք, որ AB||CD6

AB = BC, ապա ∡BCA = ∡BAC = 60°
∡BCE = 120° հետևաբար ∡BCD = 60°
∡ABC = ∡BCD = 60° անկյունները խաչադիր են
AB||CD

248․

<BCA = <BCD = 60^o, AB = BC
Ապացուցեք, որ AB || CD

AB = BC, ապա <BCA = <BAC = 60°
<ABC = 180° – <BCA – <BAC = 60°
<ABC = <BCD = 60° անկյունները խաչադիր են
AB || CD

Երկրաչափություն․ Դասարանական աշխատանք

239․ Գտեք <1-ը

<4 = <2 = 73^o, որպես հակադիր
<6 + <7 = 180^o, կից <-ներ
<7 = 180^o – 107^o = 73^o
<6 + <4 = 180^o, որպես միակողմանի
73^o + 107^o = 180^o = a||b, <1 = 92^o, որպես համապատսխան

Քանի որ այս անկյունները միակողմանի են, ապա գումարը պետք է լինի 180^օ, իսկ նրանց գումարը 180^օ է, ապա նրանք զուգահեռ են

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԶՈՒԳԱՀԵՌ ՈՒՂԻՂՆԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ

1․Ընտրիր նկարին համապատասխան պնդումները:

Տրված ուղիղները`

• չեն հատվում
• զուգահեռ են
• հատվում են

2․Եթե հարթության վրա երկու ուղիղներ զուգահեռ են, ապա այդ ուղիղները չեն հատվում:

• ճիշտ է
• սխալ է

3․c ուղիղը հատում է a և b զուգահեռ ուղիղները՝ a∥b:

Նշիր այն պնդումները, որոնք ճիշտ են:

• Միակողմանի անկյունների գումարը 360 աստիճան է:
• Խաչադիր անկյունները հավասար են:
• Համապատասխան անկյունները հավասար են:
• Խաչադիր անկյունների գումարը 360 աստիճան է:
• Համապատասխան անկյունների գումարը 360 աստիճան է:
• Միակողմանի անկյունները հավասար չեն:

4․

Ճիշտ է արդյո՞ք հետևյալ պնդումը`EI∥AB:

• սխալ է
• ճիշտ է

5․

Հայտնի է, որ երկու զուգահեռ ուղիղներ հատվում են երրորդ ուղղի կողմից:

Եթե∢7=15°,ապա∢3=15°

6․ c ուղիղը հատում է a և b ուղիղները: Նշիր այնպիսի անկյուն, որը տրվածի հետ կազմի խաչադիր անկյունների զույգ:

∢5-ը և

• 6
• 1
• 3
• 4
• 7
• 8
• 2

7․Գտիր այնպիսի անկյուն, որը տրվածի հետ կազմի համապատասխան անկյունների զույգ:

∢8-ը և

• 3
• 6
• 1
• 4
• 7
• 2
• 5

8․c ուղիղը հատում է a և b զուգահեռ ուղիղները:

Նշիր 4 անկյանը հավասար անկյունները:

• 8
• 1
• 5
• 3
• 7
• 6
• 2

9․Երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են երրորդ ուղղի կողմից:

Գտիր այն անկյունը, որի գումարը տրվածի հետ հավասար է 180 աստիճանի:

∢7-ը և

• 8
• 6
• 2
• 5
• 3
• 4
• 1

10․Գծիր ABC եռանկյունը և տար DE∥CA հատվածները: Հայտնի է, որ՝ D∈AB,E∈BC,∢CBA=71°,∢EDB=42°

Հաշվիր∡BCA

<BDE=<A
<A+<B+<C=180^o
<C=180-(42+71)=67^o
∢BCA=67^o

ԵՐԿՈՒ ՈՒՂԻՂՆԵՐԻ ԶՈՒԳԱՀԵՌՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐԸ

218․

Ապացուցեք, որ AB||DE

AB = BC
<BAC = <BCA
CD = ED
<DCE = <DEC
<ACB = <DCE
<BAC = <CED

220․

Ապացուցեք, որ CB||AD

AB = BC
<BAC = <BCA
<BCA = <CAD
<BAC = <CAD

222․

Քանի որ խաչադիր անկյունները հավասար են, ապա պետք է՝ 210^o : 2 = 105^օ

Երկրաչափություն

Երկրաչափություն

143.

ա)

LB = L1B1

LC = L1C1

BC = B1C1

բ)

<A = <A1

<ACO = <A1C1O1

150.

AB = AC

BD = DC

AD -ն ընդհանուր է

<BAC – 50o

50o/2 = 25o

151.

BC = AD

AB = CD

AC -ն ընդհանուր է

<B = <D

152.

ա)

AB = CD

BD = AC

AD – ն ընդհանուր է

CAD = ADB

∠CAD = ∠ADB

բ)

AB = CD

∠B = ∠C

BC – ն ընդհանուր է

∠BAC = ∠CDB

153.

ա)

AB = CD

BD = AC

<BOA = <COD

<AOD = <BOC

AB = CD

AC = BD

AD – ն ընդհանուր է

<CAD = <BDA

բ) <2 = ❤

ACD = ABD

154.

BM = B1M1

BM և B1M1 – ը ընդհանուր են

AB = A1B1

AC = A1C1

ΔABC = ΔA1B1C1

155.

AB = A1B1

BD = B1D1

AD = A1D1

AD և A1D1 – ը ընդհանուր են

156.

ա)

AB = CD

AD = BC

CA- ն ընդհանուր է

բ)

CO = AB

<1 = <2

<DAF = <BAE

Երկրաչափություն

138.

<DBC = <DAC

BO = AO

LC = LD

AC = BD

∆AOC և ∆BOD

<BOD = <COA որպես հակադիր <-ն

∆AOC = ∆BOD

140.

AB = A₁B₁

BC = B₁C₁

<B = <B

∆ABC = ∆A₁B₁C₁

∆DCB = ∆D₁C₁B₁

BC = B₁C₁

<B = <B₁

<DCB = <D₁C₁B₁

142.

∆BCO = ∆DAO

∆BOA = ∆CODA

O = OC

BC-ն առընթեր է