ԱՌՆՉՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՌԱՆԿՅԱՆ ԿՈՂՄԵՐԻ ԵՒ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԻՋԵՎ

Եռանկյան ավելի մեծ կողմի դիմաց ընկած է ավելի մեծ անկյունը:

Lenki_malas1.png

Ապացույց:

Դիցուք ABC եռանկյան մեջ AB կողմն ավելի մեծ է AC կողմից:

Ապացուցենք, որ ∡C>∡B:

Տեղադրենք AB կողմի վրա AC-ին հավասար հատված:

Քանի որ AD<AB, ապա D կետն ընկած է A և B կետերի միջև:

Հետևաբար, 1 անկյունը հանդիսանում է C անկյան մաս, և ուրեմն՝ ∡C>∡1

2 անկյունը BDC եռանկյան արտաքին անկյունն է, ուստի ∡2>∡B

∡1=∡2՝ որպես ADC հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյուններ:

Այսպիսով, ∡C>∡1=∡2>∡B

Այստեղից հետևում է, որ ∡C>∡B

Տեղի ունի նաև հակառակ պնդումը.

Եռանկյան ավելի մեծ անկյան դիմաց ընկած է ավելի մեծ կողմ:

Հետևանքներ.

Հետևանք 1.

Եթե եռանկյան երկու անկյուններ հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է (հավասարասրուն եռանկյան հայտանիշ):

Հետևանք 2.

Եթե եռանկյան երեք անկյուններ հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարակողմ է:

Հետևանք 3.

Ուղղանկյան եռանկյան ներքնաձիգն ավելի մեծ է էջից:

Եռանկյան անհավասարությունը

Եռանկյան յուրաքանչյուր կողմ ավելի փոքր է, քան մյուս երկու կողմերի գումարը:

Lenki_malas2.png

Ապացույց:

Դիտարկենք ABC եռանկյունը և ապացուցենք, որ AB<AC+BC

Շարունակենք AC կողմը և տեղադրենք հատված CD=BC

BCD եռանկյունը հավասարասրուն է, հետևաբար ∡1=∡2

ABD եռանկյան մեջ, ակնհայտորեն ∡ABD>∡1, ինչը նշանակում է, որ ∡ABD>∡2

Քանի որ ավելի մեծ անկյան դիմաց ընկած է ավելի մեծ կողմ, ապա AB<AD, և AD=AC+BC:

Հետևաբար, AB<AC+BCՀետևանք 4.

Մի ուղղի վրա չգտնվող A,B և C կետերի համար տեղի ունեն հետևյալ անհավասարությունները՝

AB<AC+CB,AC<AB+BC,BC<AB+AC

Խնդիրներ

1․Տրված է CAB եռանկյունը: Նշիր CA կողմին հանդիպակաց անկյունը:

Trijsturis.png
  • CAB
  • ACB
  • ABC

2․CBA եռանկյան մեջ նշիր ABC անկյան հանդիպակաց կողմը:

Viskas3.png
  • BC
  • AB
  • DA
  • BD
  • DC
  • AC

3․Ընտրիր գծագիրը, որում ցույց է տրված հավասարասրուն եռանկյուն:

Reg5.png
Vs5.png
Dm3.png

Պատ՝․ 2

4․

regulars7.PNG

Ընտրիր ցուցադրված եռանկյան տեսակը: Հնարավոր է մի քանի ճիշտ պատասխան:

  • ոչ հավասարասրուն
  • հավասարակողմ
  • բութանկյուն
  • ուղղանկյուն
  • հավասարասրուն
  • սուրանկյուն

5․

Reg1.png

Հաշվիր CBA եռանկյան պարագիծը, եթե AB=AC=CB=20սմ:
P = AB + AC + CB = 20 + 20 + 20 = 60

6․

Reg.png

Հաշվիր ABC եռանկյան պարագիծը, եթե CB=CA=600մմ և BA=800մմ

P = CB + CA + BA = 600 + 600 + 800 = 2000

7․Հաշվիր BCA եռանկյան պարագիծը, եթե CB=33մմ, BA=44մմ և CA=55մմ

P = CB + BA + CA = 33 + 44 + 55 = 132մմ

8․Որոշիր հավասարակողմ եռանկյան կողմը, եթե նրա պարագիծը հավասար է 111 սմ-ի:

P = 111 : 3 = 37

9․Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը հավասար է 154 դմ-ի, իսկ նրա սրունքը հավասար է 55 դմ-ի: Հաշվիր եռանկյան հիմքը:

55 + 55 = 110դմ

154 – 110 = 44դմ

10․Եռանկյան պարագիծը հավասար է 1000 մմ-ի: Եռանկյան մի կողմը 400 մմ է: Հաշվիր եռանկյան մյուս երկու կողմերը, եթե հայտնի է, որ դրանք իրար հավասար են:

1000 – 400 = 600մմ

600 : 2 = 300մմ

11․Տրված են KBP եռանկյան անկյունների մեծությունները՝

∡K=65°,

∡B=85°,

∡P=30°:

Թվարկիր եռանկյան կողմերը՝ ամենափոքրից մինչև ամենամեծը:

KB < BP < KP

Երկրաչափություն

ա) ոչ, A անկյունը չի կարող լինել բութ, որորվհետև A-ն չի գտնվում ամենամեծ կողմի դիմաց, իսկ ամենամեծը AB-ն է

բ) A-ն բութ է, որովհետև գտնվում է BC-ի դիմաց, BC-ն ամենամեծ կողմն է

ա) BC > AC > AB

բ) BC > AB = AC

ԵՌԱՆԿՅԱՆ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐԸ

Pierad.png

Ապացույց:

Դիտարկենք KLM կամայական եռանկյունը և ապացուցենք, որ ∡K+∡L+∡M=180°

L գագաթով տանենք KM կողմին զուգահեռ a ուղիղը: 1-ով նշանակված անկյունները խաչադիր են՝ առաջացել են a և KM զուգահեռ ուղիղները KL-ով հատելիս:

2-ով նշանակված անկյունները ևս խաչադիր են և առաջացել են նույն զուգահեռ ուղիղները ML-ով հատելիս:

Ակնհայտ է, որ 1, 2 և 3 անկյունների գումարը հավասար է L գագաթով փռված անկյանը, հետևաբար՝

∡1+∡2+∡3=180° կամ ∡K+∡L+∡M=180°:

Թեորեմն ապացուցված է:

Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմի հետևանքները

Հետևանք 1. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է:

Հետևանք2. Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան յուրաքանչյուր սուր անկյուն հավասար է 45°-ի:

Հետևանք3. Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք անկյունները հավասար են 60°-ի:

Հետևանք4. Ցանկացած եռանկյան մեջ կամ բոլոր անկյունները սուր են, կամ անկյուններից երկուսը սուր են, իսկ երրորդը՝ բութ կամ ուղիղ:

Հետևանք5. Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք կից չեն արտաքին անկյանը:

Arejsl.png

Ապացույց:

∡KML+∡BML=180° և ∡K+∡L+∡KML=180° հավասարություններից ստանում ենք, որ ∡BML=∡K+∡L

Առաջադրանքներ՝

262.

Գտեք ABC եռանկյան C անկյունը, եթե

<A = 65o, <B = 57o
65 + 57 = 122
180 – 122 = 58o
<C = 58o

<A = 24o, <B = 130o
24 + 130 = 154
180 – 154 = 26o
<C = 26o

<A = α, <B = 2α
a + 2a = 3a
<C = 180 – 3a

<A = 60o + α, <B = 60o – α
<C = 180 – 60 – a + 60 + a = 60o

263.

Գտեք ABC եռանկյան անկյունները, եթե <A : <B : <C = 2 : 3 : 4

267.

Գտեք հավասարասրուն եռանկյան անկյունները, եթե նրանց անկյուննեերից մեկը հավասար է՝
Եթե եռանկյունը հավասարասրուն է, ապա երկու անկյուն հավասար են
ա) 40o, 40o, 100o
բ) 60o, 60o, 40o
գ) 100o, 40o, 40o

268.

AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը: Գտեք <ADC–ն,
եթե <C = 50o

ԶՈՒԳԱՀԵՌ ՈՒՂԻՂՆԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ ԽՆԴԻՐՆԵՐ

1․ Նկարում <2=<6: Զուգահե՞ռ են a և b ուղիղները:

Այո, եթե համապատասխան անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են

2. Նկարում <3=<7: Զուգահե՞ռ են a և b ուղիղները:

Այո, եթե համապատասխան անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են

3. Նկարում <3=700, <5=110°: Զուգահե՞ռ են a և b ուղիղները:

Այո, եթե միակողմանի անկյունների գումարը 1800 է, ապա ուղիղները զուգահեռ են

4. Նկարում <BAD=50°, <CDA=130°: Ապացուցեք, որ АВ-ն զուգահեռ է CD-ին:

Եթե միակողմանի անկյունների գումարը 1800 է, ապա ուղիղները զուգահեռ են


5․ Նկարում <BAD=32°, <ABC= 148°: Ապացուցեք, որ BC-ն զուգահեռ է CD-ին:

Եթե միակողմանի անկյունների գումարը 1800 է, ապա ուղիղները զուգահեռ են

6․ Նկարում a-ն զուգահեռ է b-ին, <4=110°: Գտեք <5֊ը:

<4-ը խաչադիր է <5-ին, եթե խաչադիր անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են։ Այսինքն <5-ը = 110°

Երկրաչափություն․ Տնային աշխատանք

243․

a||b, c||d, <4 = 45o. Գտեք <1, <2, ❤

<4 = <2 համապատասխան են, ապա հավասար են
<2 = 45o
❤ և <4 կից են, ապա նրանց գումարը 180օ է
❤ = 180o – 45o = 135o
<1 = <3, խաչադիր են, ապա հավասար են
<1 = 135o

246․

AB = BC, <A = 60o, CD-ն BCE անկյան կիսորդն է։
Ապացուցեք, որ AB||CD6

AB = BC, ապա ∡BCA = ∡BAC = 60°
∡BCE = 120° հետևաբար ∡BCD = 60°
∡ABC = ∡BCD = 60° անկյունները խաչադիր են
AB||CD

248․

<BCA = <BCD = 60o, AB = BC
Ապացուցեք, որ AB || CD

AB = BC, ապա <BCA = <BAC = 60°
<ABC = 180° – <BCA – <BAC = 60°
<ABC = <BCD = 60° անկյունները խաչադիր են
AB || CD

Երկրաչափություն․ Դասարանական աշխատանք

239․ Գտեք <1-ը

<4 = <2 = 73o, որպես հակադիր
<6 + <7 = 180o, կից <-ներ
<7 = 180o – 107o = 73o
<6 + <4 = 180o, որպես միակողմանի
73o + 107o = 180o = a||b, <1 = 92o, որպես համապատսխան

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-7.png

Քանի որ այս անկյունները միակողմանի են, ապա գումարը պետք է լինի 180օ, իսկ նրանց գումարը 180օ է, ապա նրանք զուգահեռ են

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԶՈՒԳԱՀԵՌ ՈՒՂԻՂՆԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ

1․Ընտրիր նկարին համապատասխան պնդումները:

3taisnes1kr.PNG

Տրված ուղիղները`

  • չեն հատվում
  • զուգահեռ են
  • հատվում են

2․Եթե հարթության վրա երկու ուղիղներ զուգահեռ են, ապա այդ ուղիղները չեն հատվում:

  • ճիշտ է
  • սխալ է

3․c ուղիղը հատում է a և b զուգահեռ ուղիղները՝ a∥b:

Նշիր այն պնդումները, որոնք ճիշտ են:

  • Միակողմանի անկյունների գումարը 360 աստիճան է:
  • Խաչադիր անկյունները հավասար են:
  • Համապատասխան անկյունները հավասար են:
  • Խաչադիր անկյունների գումարը 360 աստիճան է:
  • Համապատասխան անկյունների գումարը 360 աստիճան է:
  • Միակողմանի անկյունները հավասար չեն:

4․

4_platlenkaIR3.PNG

Ճիշտ է արդյո՞ք հետևյալ պնդումը`EI∥AB:

  • սխալ է
  • ճիշտ է

5․

paralT2BezB.PNG

Հայտնի է, որ երկու զուգահեռ ուղիղներ հատվում են երրորդ ուղղի կողմից:

Եթե∢7=15°,ապա∢3=15°

6․ c ուղիղը հատում է a և b ուղիղները: Նշիր այնպիսի անկյուն, որը տրվածի հետ կազմի խաչադիր անկյունների զույգ:

paralT1.PNG

∢5-ը և

  • 6
  • 1
  • 3
  • 4
  • 7
  • 8
  • 2

7․Գտիր այնպիսի անկյուն, որը տրվածի հետ կազմի համապատասխան անկյունների զույգ:

∢8-ը և

u1r2.PNG
  • 3
  • 6
  • 1
  • 4
  • 7
  • 2
  • 5

8․c ուղիղը հատում է a և b զուգահեռ ուղիղները:

Նշիր 4 անկյանը հավասար անկյունները:

paralT2.PNG
  • 8
  • 1
  • 5
  • 3
  • 7
  • 6
  • 2

9․Երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են երրորդ ուղղի կողմից:

paralT2rBezBr2.PNG

Գտիր այն անկյունը, որի գումարը տրվածի հետ հավասար է 180 աստիճանի:

∢7-ը և

  • 8
  • 6
  • 2
  • 5
  • 3
  • 4
  • 1

10․Գծիր ABC եռանկյունը և տար DE∥CA հատվածները: Հայտնի է, որ՝ D∈AB,E∈BC,∢CBA=71°,∢EDB=42°

Հաշվիր∡BCA

<BDE=<A
<A+<B+<C=180o
<C=180-(42+71)=67o
∢BCA=67o

ԵՐԿՈՒ ՈՒՂԻՂՆԵՐԻ ԶՈՒԳԱՀԵՌՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅՏԱՆԻՇՆԵՐԸ

218․

Ապացուցեք, որ AB||DE

AB = BC
<BAC = <BCA
CD = ED
<DCE = <DEC
<ACB = <DCE
<BAC = <CED

220․

Ապացուցեք, որ CB||AD

AB = BC
<BAC = <BCA
<BCA = <CAD
<BAC = <CAD

222․

Քանի որ խաչադիր անկյունները հավասար են, ապա պետք է՝ 210o : 2 = 105օ

Երկրաչափություն

143.

ա)

LB = L1B1

LC = L1C1

BC = B1C1

բ)

<A = <A1

<ACO = <A1C1O1

150.

AB = AC

BD = DC

AD -ն ընդհանուր է

<BAC – 50o

50o/2 = 25o

151.

BC = AD

AB = CD

AC -ն ընդհանուր է

<B = <D

152.

ա)

AB = CD

BD = AC

AD – ն ընդհանուր է

CAD = ADB

∠CAD = ∠ADB

բ)

AB = CD

∠B = ∠C

BC – ն ընդհանուր է

∠BAC = ∠CDB

153.

ա)

AB = CD

BD = AC

<BOA = <COD

<AOD = <BOC

AB = CD

AC = BD

AD – ն ընդհանուր է

<CAD = <BDA

բ) <2 = ❤

ACD = ABD

154.

BM = B1M1

BM և B1M1 – ը ընդհանուր են

AB = A1B1

AC = A1C1

ΔABC = ΔA1B1C1

155.

AB = A1B1

BD = B1D1

AD = A1D1

AD և A1D1 – ը ընդհանուր են

156.

ա)

AB = CD

AD = BC

CA- ն ընդհանուր է

բ)

CO = AB

<1 = <2

<DAF = <BAE